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LIBORなどに関するイロイロ by positive gamma
positive gammaさん、また分かりやすい説明をありがとうございます。呼び方とか、今までの経緯や、さらにはBBRなど周辺情報まで説明して頂き大変助かります。自分で後から見つけやすいように、こちらにUPさせて頂きカテゴリーも「positive gamma」とさせて頂きました。

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LIBORはご存知の通りLondon Inter-Bank Offered Rateの略で毎日British Bankers Association(BBA)が発表していました(なので昔はLIBOR-BBAというタグ付けがロイターなどではされていました)が、LIBORレート設定スキャンダルの煽りを喰らってw、2013年からNYSE-Euronextに集計が移管されています。

で翌日物(オーバーナイト)から12か月までのLIBORが毎日公表されています。短期金利の指標として長く使われています。なのでLにはいろんな期間があるので、どの長さなのかは確認しないといけないです。よく使われるのはオーバーナイト(後述)、3か月、6か月のLIBORです。

上記のCLOや変動利付のCLOで使う”L”(LIBOR)は、大体3か月ものか6か月ものですね。スワップ取引などでも一番固定金利の相手方となる変動金利(LIBOR)がvs 3 months またはvs 6か月金利だからです。

Overnight金利は確かにOvernight Liborともいいますが、昨今はOIS(オイス)金利と呼ばれています。OISはOvernight Index Swapの略で、ある期間の金利と翌日物金利の交換をする取引です。

意味はOISと同じですがユーロのオーバーナイトはEONIA(Euro Over Night Index Average)、£はSONIA(Sterling Over Night Index Average)と呼ばれています。

あと指標金利としてLIBORが使われることは確かに多いのですが、国によって必ずしもそうではありません。オージーは3か月BBR(Bank Bill Rate)を一般に指標として使いますし、中国は7日ものRepo Rateを最も基本的な指標として用いています。

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OISは日本人との会話だと「オイス」、ガイジンとだと「オーアイエス」ということが多いでしょうか。EONIAはイオニア、SONIAはそのままソニアです。

EONIA見た時、おお古代ギリシャにひっかけて洒落たなと思いましたw。


 
| daily082 | positive gamma | 02:01 | - | - |
変化率の線形性について by positive gamma
positive gammaさんのコメントがどうやっても入らないため、メールで送って頂いたら、思った以上に長文だったので、こちらにUPさせて頂きました。こんなにきちんとした説明をありがとうございます。

ここの場所は時々コメントが入らなくなるので、他の方でもコメントが入らなかった場合は、メールを頂ければ私の方でUPしますので、よろしくお願いします。「メールしました」というコメントだけは入ってくれるといいのですが(笑)。

===以下、positive gammaからのコメント===

いやー、なんかみんなまじめに勉強してるなあw。本質だけわかってれば細かいところは大雑把でも大丈夫ですよ。よく言われる例えですが、自動車の運転するのにエンジンの構造を細かく知らなくても運転できますから。

少し補足しておきますとkokorinさんの疑問は至極ごもっともというか大変いいところをついてるのです。

オプションの教科書とか解説本とか、最近ではネット証券の分析ツールなんかでも無料で簡単に見ることが出来るんですが、オプションの値段ってx軸に株価、y軸にオプションの値段っていうグラフ描いたのみると曲がってるでしょ?

で、オプションの価格のデルタ(dy/dx)とは、つまり「微」分dyはごく短い価格幅dxをとった時の増減した分じゃないですか(なのでdy/dxがxをちょっとだけ動かしたときにyがどれだけ動くかの指標となる)。

つまりね、これ傾きというか直線なんです。曲線に接する直線(接線)が引かれているイメージ。dxが1ティックだとして3ティック動かすと、オプションデルタ=dy/dxは傾きなのでそのまま3単位分だけ増えたり減ったりするだけなのですが(なので直線)、オプションの価格は実は単純に3倍増えたり減ったりしません。

だからxをたくさん何ティックも動かすと当然直線が言ってることと違ってくるんです、だってオプションのペイオフはぐにゃーと曲がってますから。なのでずれて当然。

因みに、そういう何ティックも動いたときの直線では近似できないところを補正する指標はありまして、それがガンマ(gamma)とかボルガ(vol-ga、こちらはインプライドボラティリティ―が何%も動いたときに補正する指標)とか業界用語で言われてます。

具体例でなんとか説明してみます。

ボルガは放っておいて、とりあえずガンマという概念の説明だけしときます。

先週末の日経引け値は20650円、よってATM(アットザマネー)近辺のコールは20625円のコールですけど、これのデルタは大体0.51(51%)と出ています。これの意味は日経平均が10円上昇したときに大体コールオプションの値段は他の変数が一定であれば10円x0.51=5.1円くらいあがるってことですね。ATMのコール1枚もってるのは、今この瞬間は大体ミニ5枚強もってるのと同じようなものってことです。

でもほんとにこのオプションデルタの言う通りだとすると、日経がたとえば200円上下に動いたら、200x0.51=102円くらいオプションの価値が上下しないといけません。

しかし実際はコールオプションを買持ちしていると、上に200円あがった時は102円よりもっと儲かるし、逆に下がったら102円も損しないですみます。それはコールオプションのPL曲線がまさに直線でなく曲線(右下方向に向かって凸)だからです。

そのATMレベルのオプションデルタが言ってるよりもっと儲かったり、より少なく損したりする部分を補正する数値がガンマです。ちょっと難しいかな(^-^;。

200円あがるとミニ6枚分になってて、200円下がるとミニ4枚分になってるイメージです。つまり最初はミニ5枚分だったのがそのままではなくて日経(でもソニーでもなんでもいいんだけど)値段の変化とともに何枚分か変わっていくのです。

で上に行くともっと儲かって、やられるときには少なくやられるのは性質としてはよい性質なので、これを業界用語でポジティブガンマといいます。僕の名前はここから来ています(逆の性質はネガティブガンマ。これはつらい。。)。

ガンマはオプションデルタの変化率というか曲線とのずれを補正するのですが、ガンマ(Γ)=d(dy/dx)/dxはつまりyをxで二回微分したものです。速度と、その速度を変化させる加速度の関係みたいなもんですね。

この変化分を丸々足すのではなく半分だけ足して補正します。

何故半分かは、正確には1/2!の係数がかかるからですが、この辺はテイラー展開というのを説明しないといけないので省略w。なぜガンマの半分だけ足すのかの小学校の算数だけでわかるポジティブガンマ、ネガティブガンマのトレーディングによる説明は昔作った気がしますが、気が向いたらここに書きます。

ボルガはガンマという語感からの創作語ですが、ベガの変化率つまりd(dy/dσ)/ dσです。

ふられたのはもともとオプションの話じゃなくて微分の話でした。ようは何かが動いたときの変化を見るのが微分だとおもっとけば、金融関係やる分にはいいとおもいます。全て現実の世の中のものは多変数(いろいろな要因)に影響されているので、他を全部止めてひとつだけ動かす偏微分を考える世界の方が、普通の世界なのだというのはkokorinさんのご明察の通りだと思います。

ちなみにこの偏微分で一つずつ止めて変化させたそれぞれのものをもう一回集めて全部足しあわせれば、全体の変化によって実際のyがどう動くのかそのものじゃないかとおもわれたあなた、素晴らしい!、それを全微分(「微」かに動いた「分」を「全」て足し合わせたもの)と呼ぶのです。

で数学的な全微分の話も書こうと思ったけど疲れたのでまた今度(^-^;。

ここまでくるとすでに大学レベルの数学です(^^)/!

082さん、ますます数学ガールにもてますよ(大違
 
| daily082 | positive gamma | 20:56 | - | - |
保存版:微分積分 by positive gamma
あまりに分かりやすくて感動したので、ちょっとこちらにコピーさせて頂きました。コメント欄だとあとから探し出せなくなってしまうので。でもご迷惑だったら消しますので言って下さい。

この分かりやすさで金融数学の本を書いたらベストセラー間違いなしです!数学界の池上彰になれると思います。と言われてもあまり嬉しくないか??でも世の中は、こういう解説を必要としていました!

さて前置きはこのくらいにして。

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微分って変化を表す便利な方法です。「微」「分」ってちょっとだけ(微)動いた分というような意味ですね。英語だとdifferentialなので差を取るみたいなイメージでしょうか。

xという変数があってそれをちょっとだけ(「微」小に)動かした量をΔxと書くことにします。Δは「三角」じゃなくてデルタと読みます。今話題のギリシャは今でもこの文字使ってますねw。「ちょっとだけ」と書くの面倒なのでΔと書いてるとおもってください。で、このΔxのΔの幅をどんどん小さくしていった先がdxになってるとおもってください。ものすごく小さい変化幅です。よく見る記号だとΔx→dxとか書いてますよね。

因みにこれはニュートンじゃなくてライプニッツが思いついたやり方ですね。

でxの値に応じて値が変わる変数yというのがあるとします。ソニーの値段xに応じて値段が変わるコールオプションの値段をyとするみたいなやつです。「yはxの値に応じて変化するある関数である」と書くのは億劫なのでこの日本語と同じ意味をy=f(x)と書きます。

ではxがちょっとだけ動いた時にyはどのくらい動くか?ってのをどう書くか。これは比率みたいなもんだからΔy/Δxと書くことができます。多分小学校の高学年でやります。で、これをおもいきり小さい幅にしましたよという意味を書くとdy/dxになると、ハイ微分の一丁あがりw。微分のやってること(意味)って基本的にこれだけです。日本語で書くと長ったらしいし曖昧になるのでこっちの方が便利でいいやと皆使ってるだけ。

でちょっとだけオプションの話にもどるとソニーのコールオプションの価格はソニーの値段だけに依存してるのではありません。よくいうボラティリティ(σシグマという記号で略記します)が高いときには値段が高くなる(不確実性が高いので保険料が上がってるとおもえばいい)し、オプションの満期までの期間tが長いほうが値段が上がります。つまりオプション価格yはxだけに依存してるだけでなく、σとかtとかによっても値段が変わるわけですね。こういう複数の変数によって価値が変動するような関数を一般に多変数関数とよんでます。「ソニーのオプションの値段はソニーの株価x、変動性(ボラティリティー)σ、時間tの関数としてあらわせる」というのが面倒なのでy=f(x,σ,t)と書いたりするわけです。

この関数がどんな形してるのかはよくわかんないけど、たとえば他が一定の時、ボラσが上がればオプションの価値yもあがるだろうというのをy↑=f(x, σ↑,t)と書く方が面倒臭くないでしょ。で、こういう変数がたくさんあるなかで他を全部動かないようにして、一つの変数(たとえばボラティリティσ)だけをちょっとだけ動かした時にオプションの値段yはどのくらい変化しますかというのを書くと、もうわかりますよねdy/dσです。

複数の変数があるうち他をとめて一つだけを動かしてまーすというのを強調するためにdを∂としゃれて書きます。ラウンドディーと呼んでます。で、こういうたくさん変数があるうち他を止めてひとつだけをちょっとだけ動かすのを、そりゃ偏って動かしてるよなと誰かが思ったんでしょう、それには『偏微分』という名前が付きました。

ちなみに∂y/∂σのことをオプション業界ではヴェガという名前で呼んで人をけむに巻いてますw。ボラティリティ変化に対するオプション価格(プレミアム)の変化、ようするに感応度を表している数値で、デリバティブトレーダーはこういうのをよく見てる次第です。

さあ、ここまでくればdaily082さんも偏微分がさーとか、オプションの専門家のような口がきけますのでデリバティブガールの人気者になるのまちがいなし(違。

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ありがとうございます。酔っぱらって帰って来た頭で読んでも分かってしまう(気になれるだけ?)から、これは本当に素晴らしいです。世界はこのレベルの説明を求めていました。
 
| daily082 | positive gamma | 00:18 | - | - |
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